Question

19．如圖，在正方形ABCD中，點E在邊DC上，DE=3，EC=2，把線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)后使點E落在直線BC上的點F處，則F、C兩點的距離為2或8．

Answer 1

分析 分類討論：當點F落在邊BC上時，如圖，利用正方形的性質(zhì)得AB=AD=DE+CE=5，∠ABF=∠D=90°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AF=AE，則可證明Rt△ABF≌Rt△ADE，所以BF=DE=3，于是得到CF=BC-BF=2；當點F落在BC的延長線上的點F′時，如圖，同樣可證明Rt△ABF′≌Rt△ADE，得到BF′=DE=3，則CF=BC+BF′=8，于是可判斷F、C兩點的距離為2或8．

解答 解：當點F落在邊BC上時，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=DE+CE=3+2=5，∠ABF=∠D=90°，
∵線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)后使點E落在直線BC上的點F處，
∴AF=AE，
在Rt△ABF和Rt△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE，
∴BF=DE=3，
∴CF=BC-BF=5-3=2；
當點F落在BC的延長線上的點F′時，如圖，
同樣可證明Rt△ABF′≌Rt△ADE，
∴BF′=DE=3，
∴CF=BC+BF′=5+3=8，
∴F、C兩點的距離為2或8．
故答案為2或8．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．