Question

5．已知：△ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）如果△ABC中AB=AC，四邊形DEFG的形狀是矩形（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線定理推知ED∥FG，ED=FG，則由“對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）矩形．連接AO并延長交BC于點(diǎn)M，先由三角形中線的性質(zhì)得出M為BC的中點(diǎn)，當(dāng)AB=AC時，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AM⊥BC，再由三角形中位線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得出EF⊥FG，從而證明四邊形EFGH是矩形．

解答 解：（1）∵D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)
∴ED∥BC，ED=$\frac{1}{2}$BC．
同理FG∥BC，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BC，
∴ED∥FG，ED=FG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）如圖1，當(dāng)AB=AC時，?DEFG變成矩形．
理由如下：
連接AO并延長交BC于點(diǎn)M．

∵三角形的三條中線相交于同一點(diǎn)，△ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O，
∴M為BC的中點(diǎn)，
當(dāng)AB=AC時，AM⊥BC，
∵E，F(xiàn)，G分別是AB，OB，OC的中點(diǎn)，
∴EF∥AO，F(xiàn)G∥BC，
∴EF⊥FG；
∴四邊形EFGH是矩形．
故答案為：矩形．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形、矩形的判定，三角形的中位線性質(zhì)定理，三角形中線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，其中三角形的中位線的性質(zhì)定理為證明線段相等和平行提供了依據(jù)．