Question

4．在平面上△ABC的最大角小于120°時(shí)，在△ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使PA+PB+PC為最小．

Answer 1

分析 把△ABC的三邊分別繞端點(diǎn)向外旋轉(zhuǎn)60°作三個(gè)等邊三角形△ABD、△BCE、△ACF，連接CD、AE相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；先證△ABE≌△DBC得∠1=∠2，在CD上截取DM=AP，再證△DBM≌△ABP可得BM=BP、∠3=∠4，由∠MBP=∠ABC+∠ABD-∠3-∠5=∠ABD=60°知△MBP是等邊三角形，即PM=PB，從而由PA+PB+PC=DM+MP+PC=CD，依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得證．

解答 解：如圖，把△ABC的三邊分別繞端點(diǎn)向外旋轉(zhuǎn)60°作三個(gè)等邊三角形△ABD、△BCE、△ACF，連接CD、AE相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；

由作法可知，AB=AD、BE=BC，∠EBC=∠DAB=60°，
∴∠ABE=∠DBC=60°+∠ABC，
在△ABE和△DBC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠1=∠2，
在CD上截取DM=AP，
在△DBM和△ABP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DM=AP}\\{∠1=∠2}\\{DB=AB}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△ABP（SAS），
∴BM=BP，∠3=∠4，
∵∠MBP=∠ABC+∠ABD-∠3-∠5，
∴∠MBP=∠ABC+∠ABD-∠4-∠5=∠ABD=60°，
∴△MBP是等邊三角形，
∴PM=PB，
則PA+PB+PC=DM+MP+PC=CD，
即此時(shí)PA+PB+PC最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用旋轉(zhuǎn)變換解決最短線路問題，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短這一基本依據(jù)是解題的關(guān)鍵．