Question

4．問題背景  
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB，AC為底邊向三角形ABC的外側作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且AD⊥AC，AE⊥AB，連結DE，交AB于點F，試探究線段FB，F(xiàn)A之間的數(shù)量關系．
探究策略  
①小明是這樣思考的：如圖1．當∠BAC=45°時，作EG⊥AC交AB于點G，則FA=FG．
②小穎是這樣思考的：如圖2，當么∠BAC=30°時，作DG∥AE交AB于點G．則FA=FG
任務要求：
（1）小明、小穎的判斷正確嗎？說明理由．
（2）請選擇圖3中來探究線段FB、FA的數(shù)量關系，并說明理由．
（3）小明、小穎繼續(xù)研究圖3，結果發(fā)現(xiàn)以下結論：①cos∠BAC=$\frac{AE}{AD}$；②AD²-AE²=$\frac{1}{4}A{B^2}$，請你選擇其中之一進行證明．

Answer 1

分析 （1）①小明的判斷正確；先求得四邊形BCEG是平行四邊形，進而根據(jù)AAS證得△ADF≌△EGF，即可證得FA=FG．
②小穎的判斷正確；先證得AE=AC=$\frac{AB}{{\sqrt{3}}}=\frac{2AG}{{\sqrt{3}}}=GD$．然后證得△EAF≌△DGF，即可證得FA=FG．
（2）作EG⊥AC交AB于點G，連結DG，則有EG垂直平分AC，通過證得DG⊥AB，然后根據(jù)AD⊥AC，AE⊥AB即可證得四邊形ADGE是平行四邊形，證得GF=AF，從而證得FB=3FA．
（3）根據(jù)AD⊥AC，AE⊥AB，證得∠DAB=∠EAC，進而根據(jù)等腰三角形的性質證得∠DAB=∠DBA=∠EAC=∠ECA，得出△ACE∽△ABD，繼而證得$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$，即可證得cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$，在Rt△ADG中，AD²-GD²=AD²=${（\frac{1}{2}AB）^2}$，由（1）可知：GD=AE，即可證得AD²一AE²=$\frac{1}{4}A{B^2}$．

解答 解：（1）①小明的判斷正確；如圖1，
理由：∵在等腰三角形ABD中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°，
∵AD⊥AC，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=45°，
∵三角形ABD是以AB為底邊的等腰三角形，
∴∠ABD=45°，∠ADB=90°，
∴四邊形ADBC是正方形，
∴BC=AD，
∵AE⊥AB，∠BAC=45°，
∴∠EAC=45°，
∵三角形ACE是以AC為底邊等腰三角形，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACE=∠BAC=45°，
∴AB∥CE，
∵EG⊥AC，∠ACB=90°，
∴BC∥GE，
∴四邊形BCEG是平行四邊形，
∴GE=BC=AD，GE∥AD，
∴∠DAF=∠GEF，
在△ADF和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠GEF}\\{∠AFD=∠GFE}\\{AD=EG}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EGF（AAS），
∴FA=FG．
②小穎的判斷正確，如圖2，
∵∠BAC=30°，AE⊥AB，
∴∠CAE=60°，
∵△ACE是等腰三角形，
∴△ACE是等邊三角形．
同理：△ABD是等邊三角形，
∴AE=AC=$\frac{AB}{{\sqrt{3}}}=\frac{2AG}{{\sqrt{3}}}=GD$．
∵DG∥AE，
∴∠AEF=∠GDF，
在△EAF和△DGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠GDF}\\{∠AFE=∠GFD}\\{AE=GD}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△DGF（AAS），
∴FA=FG．
（2）作EG⊥AC交AB于點G，連結DG，則有EG垂直平分AC，如圖3，
∵∠ACB=90°，
∴EG∥BC．
∴AG=BG．
∵AD=BD，
∴DG⊥AB，
又∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴EG∥AD，DG∥AE，
∴四邊形ADGE是平行四邊形．
∴GF=AF，
∴FB=3FA．
（3）①∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠DAB=∠EAC，
∵三角形ABD和三角形ACE是分別以AB，AC為底邊的等腰三角形，
∴∠DAB=∠DBA=∠EAC=∠ECA，
∴△ACE∽△ABD．
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
∴cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
②在Rt△ADG中，AD²-GD²=AD²=${（\frac{1}{2}AB）^2}$，
由（1）可知：GD=AE，
∴AD²-AE²=$\frac{1}{4}A{B^2}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，三角形相似的判定和性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．