Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=$-\frac{3}{4}$x+3與x軸相交于點A，與y軸相交于點B．
（1）則A、B兩點的坐標(biāo)分別為：A（4，0），B（0，3）．（直接寫答案，不需要寫過程）
（2）如果⊙P與x軸、y軸、直線AB都相切，則這樣的⊙P共有3個，其中最小的圓的半徑為1．（直接寫答案，不需要寫過程）
（3）如果點C（m，n）在第二象限，以點C（m，n）為圓心的⊙C與直線AB相切，與x軸相切于點E，
①若四邊形CEOB為矩形，求C點的坐標(biāo)；
②求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）因為直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，所以分別令x=0，y=0，可求出A（4，0），B（0，3）；
（2）在一、二、四三個象限中都有與坐標(biāo)軸相切的三個圓，在第一象限內(nèi)最小，利用圓的內(nèi)切圓的半徑的求法求得半徑即可；
（3）①根據(jù)點A和點B的坐標(biāo)得到OA=4，OB=3，AB=5，連接CF，當(dāng)四邊形OBCE為矩形時，有CF=CE=OB=3，CB∥x軸，利用兩直線平行同位角相等可得∠CBF=∠BAO，又因為⊙C與直線AB相切于點F，所以CF⊥AB于點F，利用AAS可知△CBF≌△BAO，所以CB=AB=5，即點C的坐標(biāo)為（-5，3）；
②因為點C（m，n）是第二象限內(nèi)任意一點，以點C為圓心的圓與x軸相切于點E，與直線AB相切于點F，所以可延長EC交AB于G，連接CF，則CF=CE=n，因為⊙C與x軸相切于點E，所以GE⊥AE于點E，EG∥y軸，∠CGF=∠OBA，所以可證△FCG∽△OAB，$\frac{CF}{OA}$=$\frac{CG}{AB}$，即CG=$\frac{5}{4}$n，又因GE=CG+CE=$\frac{5}{4}$=$\frac{9}{4}$n，AE=OA+OE=4-m，利用tan∠EAG=tan∠BAO，即可得到關(guān)于m、n的關(guān)系式$\frac{\frac{9}{4}n}{4-m}$=$\frac{3}{4}$，整理即可；

解答 解：（1）如圖1，
當(dāng)x=0時，y=3；
當(dāng)y=0時，x=4；
∴A（4，0），B（0，3）；

（2）如果⊙P與x軸、y軸、直線AB都相切，
則這樣的⊙P共有3個，其中最小的圓是在第一象限時，
此時⊙P是△AOB的內(nèi)切圓，半徑為$\frac{3+4-5}{2}$=1；

（3）①∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
連接CF，
當(dāng)四邊形OBCE為矩形時，有CF=CE=OB=3，CB∥x軸，
∴∠CBF=∠BAO
∵⊙C與直線AB相切于點F，
∴CF⊥AB于點F
∴∠CFB=∠BOA，
又∵CF=OB，
∴△CBF≌△BAO，
∴CB=AB=5，
∴點C的坐標(biāo)為（-5，3）；
②如圖1，延長EC交AB于G，連接CF，則CF=CE=n，
∵⊙C與x軸相切于點E，
∴GE⊥AE于點E，
∴EG∥y軸，
∴∠CGF=∠OBA，
又由（1）得∠GFC=∠BOA=90°，
∴△FCG∽△OAB，
∴$\frac{CF}{OA}$=$\frac{CG}{AB}$，
∴CG=$\frac{5}{4}$n，
又∵GE=CG+CE=$\frac{5}{4}$n+n=$\frac{9}{4}$n，
又∵AE=OA+OE=4-m，
∴在Rt△AEG中，tan∠EAG=$\frac{GE}{AE}$=$\frac{\frac{9}{4}n}{4-m}$，
在Rt△AOB中，tan∠BAO=$\frac{OB}{ON}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{\frac{9}{4}n}{4-m}$=$\frac{3}{4}$，
∴m=4-3n；

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，一次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，切線長定理，切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點的運用，能綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．