Question

20．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，將△ABC繞C點旋轉一個角度到△DEC，直線AD、EB交于F點，在旋轉過程中，△ABF的面積的最大值是5．

Answer 1

分析 設∠BCE=∠ACD=α，可得∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，根據(jù)四邊形內角和可得∠BFA=90°，由勾股定理求得AF²+BF²=AB²=20，從而知AF²+BF²≥2AF•BF，即AF•BF≤$\frac{A{F}^{2}+B{F}^{2}}{2}$=10，繼而得S_△ABF=$\frac{1}{2}$AF•BF≤5．

解答 解：∵△DEC是由△ABC繞C點旋轉得到，
∴CE=CB，CD=CA，∠BCE=∠ACD，
設∠BCE=∠ACD=α，
∴∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴在四邊形BCDP中，∠BFA=360°-90°-α-2（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴AF²+BF²=AB²=20，
∵AF²+BF²≥2AF•BF，
∴AF•BF≤$\frac{A{F}^{2}+B{F}^{2}}{2}$=10，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$AF•BF≤5，即△ABF的面積的最大值是5，
故答案為：5．

點評 本題主要考查旋轉的性質、直角三角形的性質及勾股定理，解題的關鍵是根據(jù)四邊形內角和得出∠BPA=90°．