Question

17．如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD=2∠BAC．過點C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點．
（1）求證：CF為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為$\frac{5}{2}$cm，弦BD的長為3cm，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，由于∠A=∠OCA，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根據(jù)平行線的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根據(jù)切線的判定定理得CF為⊙O的切線；
（2）解：作OH⊥BD于H，如圖，根據(jù)垂徑定理得到BH=DH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3}{2}$，在Rt△OBH中可利用勾股定理計算出OH=2，易得四邊形OHEC為矩形，則CE=OH=2，HE=OC=$\frac{5}{2}$，BE=1，然后證明△FBE∽△FOC，利用相似比可計算出CF．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∴CF為⊙O的切線；
（2）解：作OH⊥BD于H，如圖，
則BH=DH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3}{2}$，
在Rt△OBH中，∵OB=$\frac{5}{2}$，BH=$\frac{3}{2}$，
∴OH=$\sqrt{O{B}^{2}-B{H}^{2}}$=2，
易得四邊形OHEC為矩形，
∴CE=OH=2，HE=OC=$\frac{5}{2}$，
∴BE=NE-BH=1，
∵BE∥OC，
∴△FBE∽△FOC，
∴$\frac{EF}{CF}$=$\frac{BE}{OC}$，即$\frac{CF-2}{CF}$=$\frac{1}{\frac{5}{2}}$，
∴CF=$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．