Question

19．如圖，直線y=-$\frac{1}{2}$x+m交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AH⊥x軸于H，連結(jié)BH，若OH：HC=1：5，S_△ABH=1，則k的值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 先設(shè) OH=a，則HC=5a，求得m=3a，n=$\frac{5}{2}$a，k=$\frac{5}{2}$a²，再解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3a}\\{y=\frac{5{a}^{2}}{2x}}\end{array}\right.$，得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，$\frac{5}{2}$a），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5a，$\frac{1}{2}$a），根據(jù)S_△ABH=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$a×（5a-a）=5a²，S_△ABH=1，即可得到k的值．

解答 解：設(shè) OH=a，則HC=5a，
∴C（6a，0）代入 y=-$\frac{1}{2}$x+m，得m=3a，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為 （a，n） 代入 y=-$\frac{1}{2}$x+m，得 n=-$\frac{1}{2}$a+3a=$\frac{5}{2}$a，
∴A（a，$\frac{5}{2}$a），代入 y=$\frac{k}{x}$得，
∴k=$\frac{5}{2}$a²，
∴y=$\frac{\frac{5}{2}{a}^{2}}{x}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3a}\\{y=\frac{5{a}^{2}}{2x}}\end{array}\right.$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=\frac{5}{2}a}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=5a}\\{y=\frac{1}{2}a}\end{array}\right.$，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，$\frac{5}{2}$a），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5a，$\frac{1}{2}$a），
∴AH=$\frac{5}{2}$a，
∴S_△ABH=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$a×（5a-a）=5a²，
∵S_△ABH=1，
∴5a²=1，即a²=$\frac{1}{5}$，
∴k=$\frac{5}{2}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積的計(jì)算．求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解即可．