Question

9．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點E為BC邊上一個動點，連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉90°，點A落在點P處，當點P在矩形ABCD外部時，連接PC、PD．若△DPC為直角三角形，則BE的長3或$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$．

Answer 1

分析 分兩種情形討論：①如圖1中，當∠PDC=90°時．②如圖2中，當∠DPC=90°時，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設BE=x．分別求解即可．

解答 解：①如圖1中，當∠PDC=90°時，

∵∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠PDC=180°，
∴A、D、P共線，
∵EA=EP，∠AEP=90°，
∴∠EAP=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE=45°，
∵∠B=90°
∴∠BAE=∠BEA=45°，
∴BE=AB=3．
②如圖2中，當∠DPC=90°時，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設BE=x，

∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠PEF，
在△ABE和△EFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠PEF}\\{∠B=∠F=90°}\\{AE=EP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EFP，
∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，
∴CF=3-（5-x）=x-2，
∵∠DPH+∠CPH+90°，∠CPH+∠PCH=90°，
∴∠DPH=∠PCH，
∵∠DHP=∠PHC，
∴△PHD∽△CHP，
∴PH²=DH•CH，
∴（x-2）²=x（3-x），
∴x=$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$或$\frac{7-\sqrt{17}}{4}$（舍），
∴BE=$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$，
綜上所述，當△PDC是直角三角形時，BE的值為3或$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$．
故答案為：3或$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$．

點評 本題考查旋轉變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．