Question

14．已如拋物線y=ax²+bx+c與直線y=mx+n相交于兩點，這兩點的坐標分別是（0，-$\frac{1}{2}$）和（m-b，m²-mb+n），其中a，b，c，m，n為實數(shù)，且a，m不為0．
（1）求c的值；
（2）求證：拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個交點；
（3）當-1≤x≤1時，設拋物線y=ax²+bx+c與x軸距離最大的點為P（x₀，y₀），求這時|y₀|的最小值．

Answer 1

分析 （1）將（0，-$\frac{1}{2}$）代入拋物線y=ax²+bx+c中即可；
（2）先求n的值，再將點的坐標（m-b，m²-mb+n）代入y=ax²+bx+c中，計算△＞0即可；
（3）先根據(jù)公式分別求拋物線的對稱軸和最小值，分四種情況進行討論：
①當$-\frac{2}$＜-1，即b＞2時，如圖1，在x軸上方與x軸距離最大的點是（1，y_o），
在x軸下方與x軸距離最大的點是（-1，y_o），代入拋物線的解析式中分別求|H|和|h|，作判斷即可；
②當-1≤$-\frac{2}$≤0，即0≤b≤2時，如圖2，
③當0＜$-\frac{2}$≤1，即-2≤b＜0時，如圖3，
④當1＜$-\frac{2}$，即b＜-2時，如圖4，
根據(jù)圖象分別求其y₀的取值范圍，可得結論．

解答 解：（1）∵（0，$-\frac{1}{2}$）在y=ax²+bx+c上，
∴$-\frac{1}{2}$=a×0²+b×0+c，
∴c=$-\frac{1}{2}$；
（2）又可得 n=$-\frac{1}{2}$，
∵點（m-b，m²-mb+n）在y=ax²+bx+c上，
∴m²-mb$-\frac{1}{2}$=a（m-b）²+b（m-b）$-\frac{1}{2}$，
∴（a-1）（m-b）²=0，
若（m-b）=0，則（m-b，m²-mb+n）與（0，$-\frac{1}{2}$）重合，與題意不合，
∴a=1，
∴拋物線y=ax²+bx+c，就是y=x²+bx-$\frac{1}{2}$，
△=b²-4ac=b²-4×（$-\frac{1}{2}$）=b²+2＞0，
∴拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個交點；
（3）拋物線y=x²+bx$-\frac{1}{2}$的對稱軸為x=$-\frac{2}$，最小值為$-\frac{{{b^2}+2}}{4}$，
設拋物線y=x²+bx$-\frac{1}{2}$在x軸上方與x軸距離最大的點的縱坐標為H，在x軸下方與x軸距離最大的點的縱坐標為h，
①當$-\frac{2}$＜-1，即b＞2時，如圖1，在x軸上方與x軸距離最大的點是（1，y_o），
∴|H|=y_o=$\frac{1}{2}$+b＞$\frac{5}{2}$，
在x軸下方與x軸距離最大的點是（-1，y_o），
∴|h|=|y_o|=|$\frac{1}{2}$-b|=b-$\frac{1}{2}$＞$\frac{3}{2}$，
∴|H|＞|h|，
∴這時|y_o|的最小值大于$\frac{5}{2}$；
②當-1≤$-\frac{2}$≤0，即0≤b≤2時，如圖2，在x軸上方與x軸距離最大的點是（1，y_o），
∴|H|=y_o=$\frac{1}{2}$+b≥$\frac{1}{2}$，當b=0時等號成立．
在x軸下方與x軸距離最大的點是 （$\frac{2}$，$-\frac{{{b^2}+2}}{4}$），
∴|h|=|$-\frac{{{b^2}+2}}{4}$|=$\frac{{{b^2}+2}}{4}$≥$\frac{1}{2}$，當b=0時等號成立．
∴這時|y_o|的最小值等于$\frac{1}{2}$．
③當0＜$-\frac{2}$≤1，即-2≤b＜0時，如圖3，在x軸上方與x軸距離最大的點是
（-1，y_o），
∴|H|=y_o=1+（-1）b-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-b＞$\frac{1}{2}$，在x軸下方與x軸距離最大的點是 （$-\frac{2}$，$-\frac{{{b^2}+2}}{4}$），
∴|h|=|y_o|=|$-\frac{{{b^2}+2}}{4}$|=$\frac{{{b^2}+2}}{4}$＞$\frac{1}{2}$．
∴這 時|y_o|的 最 小 值 大 于$\frac{1}{2}$．
④當1＜$-\frac{2}$，即b＜-2時，如圖4，在x軸上方與x軸距離最大的點是（-1，y_o），
∴|H|=$\frac{1}{2}$-b＞$\frac{5}{2}$，在x軸下方與x軸距離最大的點是（1，y_o），
∴|h|=|$\frac{1}{2}$+b|=-（b+$\frac{1}{2}$）＞$\frac{3}{2}$，
∴|H|＞|h|，
∴這時|y_o|的最小值大于$\frac{5}{2}$，
綜上所述，當b=0，x₀=0時，這時|y_o|取最小值，為|y_o|=$\frac{1}{2}$．

點評 本題是帶有字母系數(shù)的二次函數(shù)的綜合問題，此類問題有難度，考查了拋物線與x軸的交點問題、對稱軸、最值問題，并利用了數(shù)形結合的思想，第三問能正確畫出圖形進行分類討論是關鍵．