Question

5．已知：如圖，拋物線y=x²-2x-3交x軸于A（-1，0），B兩點(diǎn)，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，若Q是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且∠QBC=∠ACO，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 設(shè)對稱軸與x軸于交于點(diǎn)F，與BC交于點(diǎn)D，然后根據(jù)拋物線的解析式求出A、B、C、F、D，由于點(diǎn)Q的位置不確定，所以分點(diǎn)Q在BC上方和點(diǎn)Q在BC下方兩種情況進(jìn)行討論，然后根據(jù)勾股定理求出QF的長度即可．

解答 解：設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)F，與BC交于點(diǎn)D，
令y=0代入y=x²-2x-3，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）
令x=0代入y=x²-2x-3，
∴y=-3，
∴C（0，-3）
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∵∠QBC=∠ACO，
∴tan∠QBC=tan∠ACO=$\frac{1}{3}$，
拋物線對稱軸為x=1，
∴BF=DF=2，
∴由勾股定理可知：BD=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)Q在BC上方時，
過點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，
設(shè)QH=x，BH=3x，
∵∠FDB=45°，
∴QH=DH=x，
∴BD=4x，
∴4x=2$\sqrt{2}$，
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴QD=$\sqrt{2}$x=1，
∴QF=1
∴Q（1，-1）
當(dāng)Q在BC下方時，
過點(diǎn)D作DE⊥BQ于點(diǎn)E，
設(shè)DE=x，BE=3x，
在Rt△DEB中，
由勾股定理可知：x²+9x²=8，
∴x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
設(shè)DQ=a，
∵∠DQE=∠BQF，
∴△DQE∽△BQF，
∴$\frac{DE}{DQ}=\frac{BF}{QB}$，
∴QB=$\sqrt{5}$a，
在Rt△FQB中，
∴（2+a）²+2²=（$\sqrt{5}$a）²，
∴解得：a=2或a=-1，
∴FQ=4，
∴Q（1，-4）
綜上所述，Q（1，-1）或（1，-4）

點(diǎn)評 本題考查拋物線的綜合問題，設(shè)計(jì)勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，解方程，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識．