Question

4．設(shè)x，y，z∈R，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}+{y}^{2}+4=5yz}\\{{y}^{4}+{z}^{2}+4=5zx}\\{{z}^{4}+{x}^{2}+4=5xy}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據(jù)解高次方程的方法可以解答此方程．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}+{y}^{2}+4=5yz}&{①}\\{{y}^{4}+{z}^{2}+4=5zx}&{②}\\{{z}^{4}+{x}^{2}+4=5xy}&{③}\end{array}\right.$，
通過觀察可知：x=y=z，
則將x=y=z代入①，得
x⁴+x²+4=5x²，
∴x⁴-4x²+4=0，
∴（x²-2）²=0，
得x²=2，
∴x=$±\sqrt{2}$，
∴方程組的解為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=\sqrt{2}}\\{z=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=-\sqrt{2}}\\{z=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查高次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確解高次方程的方法．