Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在邊BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四邊形AEDF的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 先由SSS證明△ADE≌△ADF，得出∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，再由等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，AD⊥BC，根據(jù)勾股定理求出AB，由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)得出DE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$AC，證出AE=AF=DE=DF，即可求出結(jié)果．

解答 解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，AF=CF=$\frac{1}{2}$AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△ADE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}&{\;}\\{DE=DF}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE=∠DAF，
即AD平分∠BAC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)=4AE=2AB=2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．