Question

2．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接AC．線段AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°至線段AD，∠BAD=45°，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，連接BD、AE，則直線BD與直線AE的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{68}{23}$．

Answer 1

分析 作輔助線構(gòu)造全等三角形和矩形，通過證明△AOC≌△AFD，得到AF=AO，OC=DF，由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），得到AF=OE=OA=EF=4，由△CAB≌△DAB，得到BC=BD，由勾股定理列方程求得點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，于是得到直線BD與直線AE的解析式，聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥y軸交DE的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)F，
∴四邊形ABEF是矩形，
∴AF=OE，OA=EF，
∵線段AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°至線段AD，
∴AD=AC，∠CAD=90°，
∴∠CA0=90°-∠OAD，
∵∠FAD=90°=∠OAD，
∴∠CAO=∠FAD，
在△CAD與△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠F}\\{∠CAO=∠DAF}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△AFD（AAS），
∴AF=AO，OC=DF，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
∴OA=4，OB=1，
∴AF=OE=OA=EF=4，
在△CAB與△DAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠CAB=DAB=45°}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△CAB≌△DAB（SAS），
∴BC=BD，
設(shè)OC=m，則BC=BD=m+1，DE=4-m，BE=3，
∴（m+1）²=3²+（4-m）²，
∴m=$\frac{12}{5}$，
∴DE=$\frac{8}{5}$，
∴E（4，0），D（4，$\frac{8}{5}$），
∴直線AE的解析式為：y=-x+4，
直線BD的解析式為：y=$\frac{8}{15}$x-$\frac{8}{15}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{8}{15}x-\frac{8}{15}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{68}{23}}\\{y=\frac{24}{23}}\end{array}\right.$，
∴直線BD與直線AE的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：$\frac{68}{23}$．
故答案$\frac{68}{23}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的變換旋轉(zhuǎn)，勾股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．