Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=6，OC=4，以O(shè)A、OC為邊作矩形OABC，動(dòng)點(diǎn)M、N分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC，交OB于點(diǎn)P，連接MP．
（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4），直線OB的函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{3}$x；
（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜6），并求當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值；
（3）試探究，當(dāng)S有最大值時(shí)，在直線ON上是否存在點(diǎn)E，使△EMN為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由OA=6，AB=4，易得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）；由圖可得，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)=CN=t，縱坐標(biāo)=4-NP，NP的值可根據(jù)相似比求得；
（2）由（1）的結(jié)論易得△OMP的高為$\frac{2}{3}$t，而OM=6-AM=6-t，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式，再由二次函數(shù)的最值求法，求得t為何值時(shí)，S有最大值；
（3）由（2）求得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，從而求得直線ON的函數(shù)關(guān)系式；然后分兩種情況考慮：①當(dāng)EN=EM時(shí)，②當(dāng)EN=EM時(shí)，③當(dāng)ME=MN時(shí)，從而求得符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）延長(zhǎng)NP交OA于H，
∵四邊形OABC是矩形，
∴BC∥OA，∠OCB=90°，
∵PN⊥BC，
∴NH∥OC，
∴四邊形CNHO是平行四邊形，
∴OH=CN，
∵OA=6，AB=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）；
設(shè)直線OB的解析式為y=kx，
∴4=6k，解得k=$\frac{2}{3}$，
∴直線OB的函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{3}$x．
故答案為（6，4）、y=$\frac{2}{3}$x．

（2）由圖可得，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)=0H=CN=t，縱坐標(biāo)=4-NP，
∵NP⊥BC，
∴NP∥OC，
∴NP：OC=BN：CB，
即NP：4=（6-t）：6，
∴NP=4-$\frac{2}{3}$t，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=4-NP=$\frac{2}{3}$t，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，$\frac{2}{3}$t）；
∴S_△OMP=$\frac{1}{2}$×OM×$\frac{2}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{2}{3}$t=-$\frac{1}{3}$t²+2t．
=-$\frac{1}{3}$（t-3）²+3（0＜t＜6）．
∴當(dāng)t=3時(shí)，S有最大值．

（3）存在．
由（2）得：當(dāng)S有最大值時(shí)，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：M（3，0），N（3，4），
則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為：y=$\frac{4}{3}$x．
當(dāng)EN=EM時(shí)，則∠ENM=∠EMN，
∵M(jìn)N⊥OA，
∴∠EOM=∠EMO，
∴OE=NE，
∴E是ON的中點(diǎn)，
∴E₁（$\frac{3}{2}$，2）；
當(dāng)EN=EM時(shí)，∵M(jìn)N=4，OM=3
∴EN=4，ON=5，
∴OE=5-4=1或OE=5+4=9，
設(shè)E（m，$\frac{4}{3}$m），
∴OE=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{4}{3}m）^{2}}$=1，解得m₁=$\frac{3}{5}$，m₂=-$\frac{3}{5}$（舍去），
OE=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{4}{3}m）^{2}}$=9，解得m₃=$\frac{27}{5}$，m₄=-$\frac{27}{5}$（舍去），
∴E₂（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），E₃（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$）．
當(dāng)ME=MN時(shí)，∵M(jìn)（3，0），E（m，$\frac{4}{3}$m），
∴ME=$\sqrt{（m-3）^{2}+（\frac{4}{3}m）^{2}}$=4，解得m₅=-$\frac{21}{25}$，m₅=3（舍去），
∴E₄（-$\frac{21}{25}$，-$\frac{28}{25}$），
綜上所述，當(dāng)S有最大值時(shí)，在直線ON上存在點(diǎn)E，使△EMN為等腰三角形，此時(shí)E的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，2）或（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）或（$\frac{27}{5}$，$\frac{36}{5}$）或（-$\frac{21}{25}$，-$\frac{28}{25}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)的綜合題，考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、待定系數(shù)法求解析式、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積公式的應(yīng)用、二次函數(shù)的最值、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握函數(shù)的特征和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．