Question

18．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，點D是底邊BC上的一個動點，過點D作BC的垂線分別交一腰和另一腰的延長線于點E、F．
（1）試探索當點D在線段BC上移動時，線段AE與AF的長度是否始終相等？請加以證明；
（2）當直線DF經(jīng)過AB的中點E時，線段EF與DE的長度之間有什么關(guān)系？請加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直求出∠C+∠F=90°，∠B+∠BEF=90°，再根據(jù)等邊對等角求出∠B=∠C，從而得到∠F=∠BEF，再根據(jù)對頂角相等求出∠BEF=∠AEF，然后求出∠F=∠AEF，根據(jù)等角對等邊可得AE=AF；
（2）如圖，過A作AG⊥BC于G，連接EG，證出四邊形AFEG是平行四邊形，得到EF=AG，由于∠B=∠C=∠EGB，得到BE=EG，BD=DG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）相等，
證明：∵FD⊥BC，
∴∠C+∠F=90°，∠B+∠BED=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠F=∠BED，
∵∠BED=∠AEF
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF；

（2）DE=$\frac{1}{2}$EF，
證明：如圖，過A作AG⊥BC于G，連接EG，
∵FD⊥BC，
∴EF∥AG，
∵AB=AC，
∴BG=CG，∵AE=BE，
∴EG∥AC，
∴EG∥AF，
∴四邊形AFEG是平行四邊形，
∴EF=AG，
∵∠B=∠C=∠EGB，
∴BE=EG，
∴BD=DG，
∴DE=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}EF$．

點評 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂直的定義，三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟記等邊對等角和等角對等邊是解題的關(guān)鍵．