Question

9．如圖，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）圖中存在幾對相似三角形？分別是什么？請直接寫出來不必證明；
（3）求證：OA²=OE•OF．

Answer 1

分析 （1）由EC∥AB，∠EDA=∠ABF，可證得∠DAB=∠ABF，即可證得AD∥BC，則得四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）根據(jù)平行相似可以得三角形相似；
（3）由EC∥AB，可得$\frac{OA}{OE}=\frac{OB}{OD}$，由AD∥BC，可得$\frac{OB}{OD}=\frac{OF}{OA}$，等量代換得出$\frac{OA}{OE}=\frac{OF}{OA}$，可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵EC∥AB，
∴∠EDA=∠DAB，
∵∠EDA=∠ABF，
∴∠DAB=∠ABF，
∴AD∥BC，
∵DC∥AB，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；

（2）存在6對三角形相似，分別是：
①∵EC∥AB，
∴△ABF∽△ECF；
②由（1）知：AD∥BC，
∴△EDA∽△ECF；
③∵△ABF∽△ECF，△EDA∽△ECF，
∴△ABF∽△EDA；
④∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴△ADB∽△CBD；
⑤∵EC∥AB，
∴△OAB∽△OED；
⑥∵AD∥BC，
∴△OBF∽△ODA；

（3）∵EC∥AB，
∴△OAB∽△OED，
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OB}{OD}$，
∵AD∥BC，
∴△OBF∽△ODA，
∴$\frac{OB}{OD}=\frac{OF}{OA}$，
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OF}{OA}$，
∴OA²=OE•OF．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，解題時要注意識圖，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想．