Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，直線L是第一、三象限的角平分線．
（1）由圖觀察易知A（0，2）關于直線l的對稱點A′的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B（5，3）、C（-2，5）關于直線l的對稱點B′、C′的位置，并寫出他們的坐標：B′（3，5）、C′（5，-2）；
（2）結合圖形觀察以上三組點的坐標，直接寫出坐標面內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為（b，a）；
（3）已知兩點D（1，-3）、E（-1，-4），試在直線L上畫出點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，求QD+QE的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸為第一、三象限的角平分線，結合圖形得出B′、C′兩點坐標；
（2）由（1）的結論，并與B、C兩點坐標進行比較，得出一般規(guī)律；
（3）由軸對稱性作出滿足條件的Q點，求出直線D′E的解析式，與直線y=x聯(lián)立，可求Q點的坐標，得出結論．

解答 解：（1）如圖，由點關于直線y=x軸對稱可知：B'（3，5），C'（5，-2）．
故答案為：（3，5），（5，-2）；

（2）由（1）的結果可知，
坐標平面內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為 （b，a）．
故答案為：（b，a）；

（3）由（2）得，D（1，-3）關于直線l的對稱點D'的坐標為（-3，1），連接D'E交直線l于點Q，此時點Q到D、E兩點的距離之和最小，D'E=$\sqrt{D′{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴QD+QE的最小值為：$\sqrt{29}$．

點評 本題主要考查了最短路徑問題和軸對稱的性質，利用軸對稱解決最短路徑問題是解答此題的關鍵．