Question

16．已知：拋物線y=$\frac{1}{16}$x²+bx+c（c＜0）的圖象與x軸的負(fù)半軸相較于點(diǎn)A，與x軸的正半軸相交于點(diǎn)B，與y軸交與點(diǎn)C，8OC²=3OA•OB且△ABC的面積為60．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC，若動點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動，同時另一動點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t（秒）和點(diǎn)Q的運(yùn)動速度；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的結(jié)論下，直線x=1上是否存在點(diǎn)M，是△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1））設(shè)A（m，0），B（n，0），由題意mn=16c，OC=-c，OA•OB=-16c，由8OC²=3OA•OB，列出方程求出c，再根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{OA+OB=20}\\{OA•OB=96}\end{array}\right.$，OB＞OA，求出OA、OB即可解決問題．
（2）假設(shè)存在，設(shè)出時間t，則根據(jù)線段PQ被直線CD垂直平分，再由垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理來求解t，看t是否存在；
（3）假設(shè)直線x=1上是存在點(diǎn)M，使△MPQ為等腰三角形，此時要分兩種情況討論：①當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時，且P為頂點(diǎn)；②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時，且Q為頂點(diǎn)；然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的勾股定理求出M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解；（1）設(shè)A（m，0），B（n，0），
由題意mn=16c，
∴OC=-c，OA•OB=-16c，
∵8OC²=3OA•OB，
∴8c²=3×（-16c），
∵c＜0，
∴c=-6，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=60，
∴AB=20，
∴$\left\{\begin{array}{l}{OA+OB=20}\\{OA•OB=96}\end{array}\right.$
∵OB＞OA，
∴OA=8，OB=12，
∴點(diǎn)A（-8，0），B（12，0），C（0，-6），
∴0=$\frac{1}{16}$×64-8b-6，
∴b=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x-6．


（2）存在，設(shè)直線CD垂直平分PQ，
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10=AD，
∴點(diǎn)D在對稱軸上，連接DQ，顯然∠PDC=∠QDC，
由已知∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
∴DB=AB-AD=20-10=10，
∴DQ為△ABC的中位線，
∴DQ=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）時，線段PQ被直線CD垂直平分，
在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{{6}^{2}+1{2}^{2}}$=6 $\sqrt{5}$，
而DQ為△ABC的中位線，
∴CQ=3 $\sqrt{5}$，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為每秒 $\frac{3\sqrt{5}}{5}$單位長度；

（3）存在，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，則QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=3 $\sqrt{10}$，
①當(dāng)MP=MQ，即M為頂點(diǎn)，
設(shè)直線CD的直線方程為：y=kx+b（k≠0），
則：$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴y=3x-6
當(dāng)x=1時，y=-3，
∴M₁（1，-3）．
②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時，且P為頂點(diǎn)．
設(shè)直線x=1上存在點(diǎn)M（1，y），
則OP=3，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為y，根據(jù)勾股定理得PM₂²=4²+y²，
又PQ²=90，
則4²+y²=90，
即y=±$\sqrt{74}$，
∴M₂（1，$\sqrt{74}$），M3（1，-$\sqrt{74}$）．
③當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時，且Q為頂點(diǎn)，
過點(diǎn)Q作QE⊥y軸于E，交直線x=1于F，則F（1，-3）
設(shè)直線x=1存在點(diǎn)M（1，y），由勾股定理得：
（y+3）²+5²=90即y=-3±$\sqrt{65}$，
∴M4（1，-3+$\sqrt{65}$ ），M5（1，-3-$\sqrt{65}$）．
綜上所述：存在這樣的五點(diǎn)：
M₁（1，-3），M₂（1，$\sqrt{74}$），M3（1，-$\sqrt{74}$），M4（1，-3+$\sqrt{65}$），M5（1，-3-$\sqrt{65}$）．

點(diǎn)評 此題是一道綜合題，難度較大，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，還考查等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，同時還讓學(xué)生探究存在性問題，對待問題要思考全面，學(xué)會分類討論的思想，屬于中考壓軸題．