Question

19．如圖所示，⊙D 的半徑為3，A是圓D外一點(diǎn)且AD=5，AB，AC分別與⊙D相切于點(diǎn)B，C．G是劣弧BC上任意一點(diǎn)，過G作⊙D的切線，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．
（1）△AEF的周長是8；
（2）當(dāng)G為線段AD與⊙D的交點(diǎn)時，連結(jié)CD，則五邊形DBEFC的面積是9．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線長定理就可證明BE=EG，F(xiàn)G=FC，則△AEF的周長是：AE+EG+FG+AF=AB+AC，據(jù)此即可求解；
（2）當(dāng)G為線段AD與⊙D的交點(diǎn)時，EF于AD垂直，根據(jù)△AEG∽△ADB求得EF的長，根據(jù)S_{五邊形DBEFC}=S_{四邊形ABDC}-S_△AEF求解．

解答 解：（1）如圖1所示：連接ED，DG，F(xiàn)D，CD，
∵AB，AC分別與⊙D相切于點(diǎn)B，C，
∴AB=AC，∠ABD=∠ACD=90°，
∵⊙D 的半徑為3，A是圓D外一點(diǎn)且AD=5，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∵過G作⊙D的切線，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，
∴BE=EG，F(xiàn)G=FC，
則△AEF的周長是：AE+EG+FG+AF=AB+AC=8．
故答案為：8；

（2）如圖2，AG=AD-DG=5-3=2．
∵在△AEG和△ADB中，∠ABD=∠AGD=90°，∠BAD=∠EAG，
∴△AEG∽△ADB，
∴$\frac{EG}{BD}$=$\frac{AG}{AB}$，即$\frac{EG}{3}$=$\frac{2}{4}$，
∴EG=$\frac{3}{2}$，
∴EF=2EG=3，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$EF•AG=$\frac{1}{2}$×3×2=3．
又∵S_{四邊形ABDC}=2S_△ABD=AB•BD=3×4=12，
∴S_{五邊形DBEFC}=12-3=9．
故答案是：9．

點(diǎn)評 本題考查了切線長定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)定理，理解當(dāng)G為線段AD與⊙D的交點(diǎn)時，EF于AD垂直，求得EF的長是關(guān)鍵．