Question

14．如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿CD邊以1cm/s的速度向D移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AB以3cm/s的速度向B移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=1.5時(shí)，求證：PQ$\stackrel{∥}{=}$AD；
（2）當(dāng)t=3s時(shí)，線段PQ能否平分對(duì)角線BD；
（3）當(dāng)t=$\frac{12}{7}$s時(shí)，點(diǎn)P恰好在DQ的垂直平分線上．

Answer 1

分析 （1）先求出AP=DQ，再證明四邊形APQD是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）當(dāng)線段PQ平分對(duì)角線BD時(shí)，由DE=BE，得出DQ=BP，列出方程，解方程即可；
（3）作DN⊥AB于N，CM⊥AB于M，先求出AN，再由DQ=2PN，列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）當(dāng)t=1.5時(shí)，CQ=1.5，AP=3×1.5=4.5，
∴DQ=6-1.5=4.5，
∴AP=DQ，
∵AB∥CD，
∴AP∥DQ，
∴四邊形APQD是平行四邊形，
∴PQ∥AD，PQ=AD；
（2）當(dāng)t=3s時(shí)，線段PQ能平分對(duì)角線BD；
如圖所示：連接BD交PQ于E，理由如下：
∵AB∥CD，
∴BP∥DQ，當(dāng)線段PQ平分對(duì)角線BD時(shí)，
∵DE=BE，
∴DQ=BP，
∵DQ=6-t，BP=12-3t，
∴6-t=12-3t，
解得：t=3；
∴當(dāng)t=3s時(shí)，線段PQ能平分對(duì)角線BD；
（3）當(dāng)t=$\frac{12}{7}$s時(shí)，點(diǎn)P恰好在DQ的垂直平分線上；理由如下：
如圖所示：作DN⊥AB于N，CM⊥AB于M，
則AN=$\frac{1}{2}$（12-6）=3，
當(dāng)點(diǎn)P恰好在DQ的垂直平分線上時(shí)，PF垂直平分DQ，DQ=2PN，
∵PN=3t-3，DQ=6-t，
∴6-t=2（3t-3），
解得：t=$\frac{12}{7}$；
即當(dāng)t=$\frac{12}{7}$s時(shí)，點(diǎn)P恰好在DQ的垂直平分線上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）（3）中，需要通過(guò)作輔助線，列出方程才能解決問(wèn)題．