Question

8．已知：如圖，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC與CD共線，聯(lián)結(jié)AE，點(diǎn)M為AE中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM，交AC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)MD，交CE于點(diǎn)H
（1）求證：MB=MD；
（2）當(dāng)AB=BC，DC=DE時(shí)，求證：四邊形MGCH為矩形．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)BM交DE的延長(zhǎng)線于N，如圖，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥DN得到$\frac{BM}{MN}$=$\frac{AM}{ME}$，加上AM=ME，則BM=MN，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到MB=MD；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥NE得到$\frac{AB}{NE}$=$\frac{AM}{ME}$=1，即AB=NE，再利用AB=BC，DC=DE可得BD=DN，則△BDN為等腰直角三角形，所以DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，接著由Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形得到∠CED=∠ACB=∠45°，則可得到CE∥BN，AC∥DM，于是可判斷四邊形MGCH為平行四邊形，加上∠GMH=90°，則可判斷四邊形MGCH為矩形．

解答 證明：（1）延長(zhǎng)BM交DE的延長(zhǎng)線于N，如圖，
∵∠ABC=∠CDE=90°，
∴AB∥DN，
∴$\frac{BM}{MN}$=$\frac{AM}{ME}$，
而點(diǎn)M為AE中點(diǎn)，
∴AM=ME，
∴BM=MN，
∴DM為Rt△BDN的斜邊上的中線，
∴MB=MD；
（2）∵AB∥NE，
∴$\frac{AB}{NE}$=$\frac{AM}{ME}$=1，即AB=NE，
∵AB=BC，DC=DE，
∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN，
∴△BDN為等腰直角三角形，
∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，
∵AB=BC，DC=DE，
∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠CED=∠ACB=∠45°，
∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM，
∴CE∥BN，AC∥DM，
∴四邊形MGCH為平行四邊形，
而∠GMH=90°，
∴四邊形MGCH為矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．也考查了矩形的判定和等腰直角三角形的性質(zhì)．