Question

17．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下面四個結(jié)論：①OA=OD；②AD⊥EF；③當(dāng)∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形；④AE²+DF²=AF²+DE²．其中正確的是（　�。�

• A． ②③
• B． ②④
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE=DF，證△AED≌△AFD，推出AE=AF，再一一判斷即可．

解答 解：根據(jù)已知條件不能推出OA=OD，∴①錯誤；
∵AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF，∴②正確；
∵∠BAC=90°，∠AED=∠AFD=90°，
∴四邊形AEDF是矩形，
∵AE=AF，
∴四邊形AEDF是正方形，∴③正確；
∵AE=AF，DE=DF，
∴AE²+DF²=AF²+DE²，∴④正確；
∴②③④正確，
故選C．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能求出Rt△AED≌Rt△AFD是解此題的關(guān)鍵．