Question

7．如圖，線段AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，連結(jié)AD，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連結(jié)BE并延長交CD于F點(diǎn)．
（1）請說明△ABE≌△DFE的理由；
（2）連結(jié)CE，若CE⊥AD，DE=2CE，CD=$\sqrt{5}$，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠A=∠D，∠ABE=∠DFE，然后利用“角角邊”證明即可；
（2）設(shè)CE=x，表示出DE=2x，在Rt△CDE中，利用勾股定理列方程求解即可得到CE，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=EF，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BF=2CE．

解答 （1）證明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠ABE=∠DFE，
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△ABE≌△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠ABE=∠DFE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（AAS）；

（2）解：設(shè)CE=x，∵DE=2CE，
∴DE=2x，
∵CE⊥AD，CD=$\sqrt{5}$，
在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，CE²+DE²=CD²，
∴x²+（2x）²=（$\sqrt{5}$）²，
解得x=1，
由（1）可知△ABE≌△DFE，
∴BE=EF，
又∵CD⊥BC，
∴BF=2CE=2．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．