Question

15．如圖，矩形ABCD中，BC=2AB=4，AE平分∠BAD交邊BC于點(diǎn)E，∠AEC的分線交AD于點(diǎn)F，以點(diǎn)D為圓心，DF為半徑畫圓弧交邊CD于點(diǎn)G，則$\widehat{FG}$的長為（2-$\sqrt{2}$）π．

Answer 1

分析 先由矩形的性質(zhì)得出，∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=BC=4，AD∥BC，根據(jù)AE平分∠BAD得到∠BAE=∠EAD=45°，那么△ABE是等腰直角三角形，于是AB=BE=2，AE=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$．再由∠AEC的分線交AD于點(diǎn)F，∠AEF=∠CEF，由AD∥BC，得出∠CEF=∠AFE，等量代換得到∠AEF=∠AFE，那么AF=AE=2$\sqrt{2}$，DF=AD-AF=4-2$\sqrt{2}$，然后根據(jù)弧長的計(jì)算公式即可求出$\widehat{FG}$的長．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=BC=4，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD交邊BC于點(diǎn)E，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE=2，AE=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$．
∵∠AEC的分線交AD于點(diǎn)F，
∴∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠CEF=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE=2$\sqrt{2}$，
∴DF=AD-AF=4-2$\sqrt{2}$，
∴$\widehat{FG}$的長為：$\frac{90π×（4-2\sqrt{2}）}{180}$=（2-$\sqrt{2}$）π．
故答案為（2-$\sqrt{2}$）π．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，弧長的計(jì)算，求出DF=4-2$\sqrt{2}$是解題的關(guān)鍵．