Question

4．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE垂直AC交AD于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． 1.5

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB=$\sqrt{2}$，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)勾股定理求出AC，得出OA，再證明△AOE∽△ADC，得出比例式，即可求出AE的長(zhǎng)．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB=$\sqrt{2}$，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵OE⊥AC，
∴∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠ADC，
又∵∠OAE=∠DAC，
∴△AOE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{OA}{AD}$，
即$\frac{AE}{\sqrt{6}}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{2}$，
∴AE=1.5；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．