Question

12．如圖，邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．連接對(duì)角線(xiàn)AC，以AC為邊作第二個(gè)菱形ACEF，使∠FAC=60°．連接AE，再以AE為邊作第三個(gè)菱形AEGH使∠HAE=60°…按此規(guī)律所作的第7個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是27．

Answer 1

分析 先求出第一個(gè)菱形和第二個(gè)菱形的邊長(zhǎng)，得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：連接BD交AC于O，連接CD₁交AC₁于E，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴ACD⊥BD，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
OA=$\frac{1}{2}$AC，
∴OA=AB•cos30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=2OA=$\sqrt{3}$，
同理AE=AC•cos30°=$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，AC₁=3=（$\sqrt{3}$）²，…，
第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為（ $\sqrt{3}$）^n-1，
∴第7個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為（ $\sqrt{3}$）⁶=27；
故答案為27．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形以及銳角三角函數(shù)的運(yùn)用；根據(jù)第一個(gè)和第二個(gè)菱形的邊長(zhǎng)得出規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．