Question

2．如圖，直線y=$\frac{2}{3}$x-4分別與x軸、y軸交于點A和點B，點C、D分別是線段OA、AB的中點，點P為OB上一動點，當PC+PD取最小值時點P的坐標是（　�。�

• A． （0，-1）
• B． （0，-2）
• C． （0，-3）
• D． （0，-4）

Answer 1

分析 根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點A、B的坐標，再由中點坐標公式求出點C、D的坐標，根據(jù)對稱的性質找出點D′的坐標，（方法一）結合點C、D′的坐標求出直線CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，從而得出點P的坐標；（方法二）由點D、D′關于y軸對稱，可得出點P為線段CD′的中點，根據(jù)中點坐標公式即可得出點P的坐標．

解答 解：作點D關于y軸的對稱點D′，連接CD′交y軸于點P，此時PC+PD取最小值，如圖所示．
當x=0時，y=$\frac{2}{3}$x-4=-4，
∴點B的坐標為（0，-4）；
當y=$\frac{2}{3}$x-4=0時，x=6，
∴點A的坐標為（6，0）．
∵點C、D分別是線段OA、AB的中點，
∴點C的坐標為（3，0），點D的坐標為（3，-2）．
∵點D、D′關于y軸對稱，
∴點D′的坐標為（-3，-2）．
（方法一）設直線CD′的解析式為y=kx+b，
將C（3，0）、D′（-3，-2）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{-3k+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線CD′的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1．
當x=0時，y=$\frac{1}{3}$x-1=-1，
∴點P的坐標為（0，-1）．
（方法二）∵點D、D′關于y軸對稱，
∴點P為線段CD′的中點，
∴點P的坐標為（0，-1）．
故選A．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及軸對稱中的最短路線問題，根據(jù)兩點之間線段最短找出當PC+PD取最小值時點P的位置是解題的關鍵．