Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象頂點(diǎn)為M（2，9）且過點(diǎn)C（8，0）．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)F為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動點(diǎn)，連接CD、CF，以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF，設(shè)平行四邊形CDEF的面積為S．
①若F的橫坐標(biāo)為3，求S的值；
②是否存在點(diǎn)F，使點(diǎn)E也落在該二次函數(shù)圖象上．若存在，求出F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的頂點(diǎn)將拋物線的解析式變形為頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出a值，再代入拋物線解析式中即可得出結(jié)論；
（2）①過點(diǎn)D作DM∥x軸，交CF于點(diǎn)M，由點(diǎn)F的橫坐標(biāo)找出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線CF的解析式，結(jié)合點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，找出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用平行四邊形的面積找出S的值；
②假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出關(guān)于t的方程，解方程求出t的值，將其代入點(diǎn)F的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象頂點(diǎn)為M（2，9），
∴二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²+9，
將點(diǎn)C（8，0）代入y=a（x-2）²+9中，
得：0=a×（8-2）²+9=36a+9，解得：a=-$\frac{1}{4}$，
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+9=-$\frac{1}{4}$x²+x+8．
（2）①過點(diǎn)D作DM∥x軸，交CF于點(diǎn)M，如圖1所示．
當(dāng)x=3時(shí)，y=-$\frac{1}{4}$×（3-2）²+9=$\frac{35}{4}$，
∴F（3，$\frac{35}{4}$）．
設(shè)直線CF的解析式為y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=8m+n}\\{\frac{35}{4}=3m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{7}{4}}\\{n=14}\end{array}\right.$，
∴直線CF的解析式為y=-$\frac{7}{4}$x+14．
當(dāng)y=4時(shí)，有-$\frac{7}{4}$x+14=4，
解得：x=$\frac{40}{7}$，
∴M（$\frac{40}{7}$，4），
∴DM=$\frac{40}{7}$．
∵F（3，$\frac{35}{4}$），C（8，0），
∴S=DM•（y_F-y_C）=$\frac{40}{7}$×$\frac{35}{4}$=50．
②假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，-$\frac{1}{4}$t²+t+8），
∵四邊形CDEF為平行四邊形，C（8，0），D（0，4），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t-8，-$\frac{1}{4}$t²+t+12），
∵點(diǎn)E在拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+x+8上，
∴-$\frac{1}{4}$t²+t+12=-$\frac{1}{4}$（t-8）²+（t-8）+8=-$\frac{1}{4}$t²+5t-16，
解得：t=7，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（7，$\frac{11}{4}$）．
故存在點(diǎn)F（7，$\frac{11}{4}$），使點(diǎn)E也落在該二次函數(shù)圖象上．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）①熟練掌握平行四邊形面積的算法；②根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出關(guān)于t的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．