Question

9．如圖，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)P落在第三象限內(nèi)，頂點(diǎn)A，B分別落在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象的兩支上，且PA⊥x軸于點(diǎn)D，PB⊥y軸于點(diǎn)C，AB分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)F、E，已知B（3，-1）．
（1）k=-3；
（2）求證：AF=BE；
（3）當(dāng)四邊形ABCD的面積為$\frac{21}{4}$時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把B坐標(biāo)代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由k的值確定出反比例解析式，設(shè)出A坐標(biāo)，根據(jù)AP與x軸垂直，PB與y軸垂直，表示出D，C，P坐標(biāo)，進(jìn)而表示出PA，PB，PD以及PA的長，得到兩對對應(yīng)邊成比例且夾角相等，確定出三角形DCP與三角形APB相似，利用相似三角形的對應(yīng)角相等得到一對同位角相等，確定出DC與AB平行，利用兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形得到四邊形DCBF與四邊形ADCE都為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到AE=BF，利用等式的性質(zhì)即可得證；
（3）四邊形ABCD面積=三角形APB面積-三角形PCD面積，根據(jù)已知四邊形ABCD面積列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把B（3，-1）代入反比例函數(shù)解析式得：-1=$\frac{k}{3}$，即k=-3；
故答案為：-3；
（2）由（1）得反比例解析式為y=-$\frac{3}{x}$，
設(shè)A（a，-$\frac{3}{a}$），
∵PA⊥x軸于點(diǎn)D，PB⊥y軸于點(diǎn)C，
∴D的坐標(biāo)為（a，0），P的坐標(biāo)為（a，-1），C的坐標(biāo)為（0，-1），
∴PA=-a，PB=3-a，PD=1，PA=-$\frac{3}{a}$+1，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{-a}{3-a}$=$\frac{a}{a-3}$，$\frac{PD}{PA}$=$\frac{1}{-\frac{3}{a}+1}$=$\frac{a}{a-3}$，即$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PD}{PA}$，
∵∠CPD=∠BPA，
∴△PCD∽△PBA，
∴∠PCD=∠PBA，
∴CD∥BA，
∵BC∥FD，AD∥EC，
∴四邊形BCDF和四邊形ADCE都為平行四邊形，
∴BF=CD，AE=DC，
∴BF=AE，
∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE；
（3）由（2）得：P（a，-1），
∵S_{四邊形ABCD}=S_△PAB-S_△PCD，
∴$\frac{1}{2}$PA•PB-$\frac{1}{2}$PC•PD=$\frac{21}{4}$，即$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{3}{a}$）•（3-a）-$\frac{1}{2}$•（-a）•1=$\frac{21}{4}$，
解得：a=-2，
則P的坐標(biāo)為（-2，-1）．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及三角形面積，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．