Question

8．設(shè)二次函數(shù)y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A（0，10），B（-4，0），C三點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)F為二次函數(shù)位于第一象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），連結(jié)CD，CF，DF，記三角形CDF的面積為S．求出S的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）把A（0，10），B（-4，0）代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c求出b和c的值即可求出拋物線解析式，進(jìn)而可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)OF，如圖，設(shè)F（t，-0.25t²+1.5t+10），由S_{四邊形OCFD}=S_△CDF+S_△OCD=S_△ODF+S_△OCF計(jì)算即可．

解答 解：（1）把A（0，10），B（-4，0）代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c得；
$\left\{\begin{array}{l}c=10\\-4-4b+c=0\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1.5}\\{c=10}\end{array}\right.$，
所以拋物線的解析式為y=-0.25x²+1.5x+10； 
當(dāng)y=0時(shí)，-0.25x²+1.5x+10=0，
解得x₁=-4，x₂=10，
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0）；  
（2）連結(jié)OF，如圖，設(shè)F（t，-0.25t²+1.5t+10），
∵S_{四邊形OCFD}=S_△CDF+S_△OCD=S_△ODF+S_△OCF，
∴S=S_△CDF=S_△ODF+S_△OCF-S_△OCD
=$\frac{1}{2}$×4×t+$\frac{1}{2}$×10（-0.25t²+1.5t+10）-$\frac{1}{2}$×4×10，
=-1.25t²+9.5t+30．
=-1.25（t-3.8）²+48.05，
當(dāng)t=3.8時(shí)，S有最大值，最大值為48.05．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出關(guān)于t的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．