Question

13．等邊△ABC中，D是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，如圖①，當(dāng)D在CA延長線上時(shí)，以BD為一邊作等邊△EDB，連結(jié)AE．
（1）△ABE和△BCD會(huì)全等嗎？請(qǐng)說說你的理由；
（2）試說明AE∥BC的理由；
（3）如圖②，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的延長線上時(shí)，所作△EDB仍為等邊三角形，請(qǐng)問是否仍有AE∥BC？說明你的猜想的理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用等邊三角形的性質(zhì)得出∠CBD=∠ABE，進(jìn)而得出△ABE≌△CBD；
（2）利用△ABE≌△CBD，得到∠EAB=∠DCB=60°，又∠ABC=60°，等量代換得到∠EAB=∠ABC，即可解答；
（3）仍有AE∥BC，首先利用等邊三角形的性質(zhì)得出∠CBD=∠ABE，進(jìn)而得出△ABE≌△CBD，得到∠BAE=∠BCD，利用等邊三角形的內(nèi)角為60°，證明∠EAC=∠ACB，即可解答．

解答 解：（1）∵△ABC和△DBE均為等邊三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∵∠CBD=60°-∠ABD，∠ABE=60°-∠ABD，
∴∠CBD=∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS）．
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠EAB=∠DCB=60°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠EAB=∠ABC（等量代換），
∴AE∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
（3）仍有AE∥BC．
∵△ABC和△DBE均為等邊三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∵∠CBD=∠ABD-60°，∠ABE=∠ABD-60°，
∴∠CBD=∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCD=180°-∠ACB=120°，
∴∠BAE=120°，
∵∠BAC=60°，
∴∠EAC=∠BAE-∠BAC=60°，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．