Question

1．感知：如圖①，正方形AEFG的頂點E，F(xiàn)在正方形ABCD的內(nèi)部，連接BE，DG，可知△ABE≌△ADG．（不需證明）
探究：如圖②，菱形AEFG的頂點E在菱形ABCD的內(nèi)部，∠BAD=∠EAG，連接BE，DG，求證：△ABE≌△ADG．
應(yīng)用：如圖③，△ADE的頂點D在△ABC的內(nèi)部，∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC=6，AD=AE，求陰影部分圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=AB，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，然后根據(jù)SAS即可證得△ABE≌△ADG．
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD=AB，AG=AE，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，然后根據(jù)SAS即可證得△ABE≌△ADG．
（3）過點A作AM⊥BC于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BC=2CM，∠ACB=∠ABC=30°，進(jìn)而求得AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3，CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，BC=2×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，然后根據(jù)SAS證得△ABD≌△ACE，從而得出陰影部分圖形面積即為△ABC的面積，求得△ABC的面積即可．

解答 解：感知：∵四邊形AEFG和四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD，
即∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADG（SAS）；
探究：∵∠BAD=∠EAG，
∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD，
即∠BAE=∠DAG，
∵四邊形AEFG和四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AE=AG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADG（SAS）；
應(yīng)用：過點A作AM⊥BC于M，
∵AB=AC=6，∠BAC=120°，
∴BC=2CM，∠ACB=∠ABC=30°，
在RT△ACM中，AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3，
CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BC=2×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴陰影部分圖形面積即為△ABC的面積，
∴陰影部分圖形面積為：$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×3=9$\sqrt{3}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形和勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．