Question

14．已知方程x²+2x+1+m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．求證方程x²+（m-2）x-m-3=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析 由方程x²+2x+1+m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范圍，再根據(jù)根的判別式找出方程x²+（m-2）x-m-3=0的△=（m+4）²，結(jié)合m的取值范圍即可得出（m+4）²＞0，進(jìn)而即可得知方程x²+（m-2）x-m-3=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

解答 證明：∵方程x²+2x+1+m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴△=2²-4×1×（1+m）=-4m＜0，
解得：m＞0．
在方程x²+（m-2）x-m-3=0中，
△=（m+2）²-4×1×（-m-3）=m²+8m+16=（m+4）²，
∵m＞0，
∴△=（m+4）²＞0，
∴方程x²+（m-2）x-m-3=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式，根據(jù)根的判別式的符號(hào)確定方程解的情況是解題的關(guān)鍵．