Question

20．已知A（-2，2）為正比例函數(shù)y=kx上一點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使A，P和坐標(biāo)原點(diǎn)O構(gòu)成等腰直角三角形？若存在，試求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 過A作AN⊥y軸于N，作AM⊥x軸于M，求出四邊形AMON是正方形，求出AN=ON=OM=AM=2，分為兩種情況：①∠APO=90°，②∠PAO=90°，求出OP即可．

解答 解：在x軸上存在一點(diǎn)P，使A，P和坐標(biāo)原點(diǎn)O構(gòu)成等腰直角三角形，
把A（-2，2）代入y=kx得：k=-1，
即函數(shù)的解析式為y=-x，
過A作AN⊥y軸于N，作AM⊥x軸于M，
則∠ANO=∠NOM=∠AMO=90°，
ON=OM=2，
所以四邊形AMON是正方形，
即AN=ON=OM=AM=2，
分為兩種情況：①如圖1，當(dāng)∠APO=90°時(shí)，即P和M重合，
所以此時(shí)P的坐標(biāo)是（-2，0）；
②
如圖2，當(dāng)∠PAO=90°時(shí)，
∵四邊形AMON是正方形，
∴∠AOM=∠OAM=45°，
∴∠PAM=45°，
∴∠PAM=∠APM=45°，
∴PM=AM=2，
∴OP=2+2=4，
∴P的坐標(biāo)是（-4，0）；
∵∠AOM=45°，P在x軸上，
∴∠AOP的度數(shù)是45°或135°，
即只有以上兩種情況，
即P的坐標(biāo)是（-2，0）或（-4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，一次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的應(yīng)用，能進(jìn)行分類討論是解此題的關(guān)鍵．