Question

14．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4的頂點為P，與x軸正半軸交于點B，交y軸于點C，點F在直線BC上，且△PFB為直角三角形，求點F的坐標．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的解析式結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點B、C、P的坐標，過點F作x軸的平行線與過點P作y軸的平行線交于點E，由BC的坐標即可得出直線BC的解析式，設(shè)出點F的坐標，即可得出點E的坐標，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可判斷出△PEF為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，再將其代入點F的坐標中即可得出結(jié)論．

解答 解：當x=0時，y=4，
∴點C的坐標為（0，4）；
當y=0時，有-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴點B的坐標為（4，0）；
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴點P的坐標為（1，$\frac{9}{2}$）．
過點F作x軸的平行線與過點P作y軸的平行線交于點E，如圖所示．
∵點B（4，0），點C（0，4），
∴∠OBC=45°，
∴直線BC的解析式為y=-x+4．
設(shè)點F的坐標為（m，4-m），則點E（1，4-m），
∵EF∥x軸，
∴∠BFE=∠OBC=45°，
∴∠PFE=∠PFB-∠BFE=45°，
又∵EF∥x軸，PE∥y軸，
∴∠PEF=90°，
∴△PEF為等腰直角三角形，
∴EF=PE，即1-m=$\frac{9}{2}$-（4-m），
解得：m=$\frac{1}{4}$，
∴點F的坐標為（$\frac{1}{4}$，$\frac{15}{4}$）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找出關(guān)于m的一元一次方程．本題屬于中檔題，難度不大，但解決該問題中用到的知識點較多，稍顯復(fù)雜．