Question

3．在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），B（-6，0）．
（1）按下列要求用圓規(guī)和直尺畫圓，以AB為斜邊作等腰直角△ABP；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）求滿足（1）的P點坐標；
（3）點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，求點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分線，然后在垂直平分線上找出到x軸的距離為5的點即為P點，這樣△ABP為等腰直角三角形；
（2）利用畫法直接寫出P點坐標；
（3）以點P為圓心，PA為半徑作圓交y軸于C點，作PH⊥y軸于H，如圖，利用圓周角定理可判斷∠ACB=$\frac{1}{2}$∠APB=45°，接著根據(jù)勾股定理計算出CH=7，于是可得到C（0，12），同理可得C′（0，-12）．

解答 解：（1）如圖，△ABP和△ABP′為所作；
（2）點P在AB的垂直平分線上，則P點的橫坐標為-1，
而AB=10，點P到AB的距離為$\frac{1}{2}$AB，
所以P點坐標為（-1，5）或（-1，-5）；
（3）以點P為圓心，PA為半徑作圓交y軸于C點，作PH⊥y軸于H，如圖，
則∠ACB=$\frac{1}{2}$∠APB=45°，
PC=PA=5$\sqrt{2}$，PH=1，
在Rt△PCH中，CH=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=7，
∴C（0，12），
同理可得C′（0，-12），
即滿足條件的C點坐標為（0，12）或（0，-12）．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．也考查了等腰直角三角形和圓周角定理．