Question

20．如圖，正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)M（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，若∠AMB=90°，且其兩邊分別于兩坐標(biāo)軸的正半軸交于點(diǎn)A、B．求四邊形OAMB的面積．
（3）如圖2，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，PF交直線OM于點(diǎn)H，過(guò)作x軸的垂線，垂足為G．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m＞$\sqrt{6}$時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PEGH為正方形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（2）首先證明△AMC≌△BMD，推出S_{四邊形OCMD}=S_{四邊形OAMB}，即可解決問(wèn)題．
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，$\frac{6}{x}$），則PE=HG=GE=$\frac{6}{x}$，OE=x，

解答 解：（1）將點(diǎn)M（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）分別帶入y=ax與y=$\frac{k}{x}$得：
$\sqrt{6}$=a$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$=$\frac{k}{\sqrt{6}}$，
解得：a=1，k=6．
∴這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式分別為：y=x，y=$\frac{6}{x}$．

（2）如圖1中，過(guò)點(diǎn)M分別做x軸、y軸的垂線，垂足分別為C、D．

則∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD=90°-∠AMD，MC=MD=$\sqrt{6}$，
∴△AMC≌△BMD，
∴S_{四邊形OCMD}=S_{四邊形OAMB}=6．

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，$\frac{6}{x}$），則PE=HG=GE=$\frac{6}{x}$，OE=x，

∵∠MOE=45°，
∴OG=GH=$\frac{6}{x}$，
∴OE=OG+GH=$\frac{12}{x}$，
∴x=$\frac{12}{x}$，
解得x=2$\sqrt{3}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)綜合題、正比例函數(shù)的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常壓軸題．