Question

18．已知二次函數(shù)y=（t-4）x²-（2t-5）x+4在x=0與x=5的函數(shù)值相等
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)B，C兩點(diǎn)，求一次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，過動點(diǎn)D（0，m）作直線l∥x軸，其中m＞-2．將二次函數(shù)的像在直線l下方的部分沿直線l向上翻折，其余部分保持不變，得到一個新圖象M．若直線y=kx+b與新圖象M恰有兩個公共點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)x=0與x=5的函數(shù)值相等列出關(guān)于t的方程，可求得t的值，從而可得到拋物線的解析式；
（2）令y=0時，得到關(guān)于x的方程，可求得A（1，0），B（4，0），令x=0可求得y=4，則C（0，4），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得到關(guān)于k，b的方程，然后求得k，b的值即可；
（3）如圖1所示：當(dāng)拋物線y=x²-5x+4關(guān)于y=m對稱的拋物線與直線BC沒有公共點(diǎn)時，直線y=kx+b與新圖象M恰有兩個公共點(diǎn)．先求得點(diǎn)C關(guān)于y=m對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得到拋物線y=x²-5x+4關(guān)于y=m對稱的拋物線的解析式，然后依據(jù)所得拋物線與直線BC沒有公共點(diǎn)可求得m的范圍；如圖2所示：直線y=kx+b與新圖象M恰有兩個公共點(diǎn)，然后依據(jù)所得拋物線與x軸的交點(diǎn)位于（0，4）下方，當(dāng)x=4時，所得拋物線的y＞0列不等式組求解即可．

解答 解：（1）∵x=0與x=5的函數(shù)值相等，
∴25（t-4）-5（2t-5）+4=4，
解得t=5．
∴解析式為y=x²-5x+4．

（2）當(dāng)y=0時，x²-5x+4=0
解得：x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0）．
當(dāng)x=0時，y=4，則C（0，4）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=4．
∴直線BC的解析式y(tǒng)=-x+4．

（3）如圖1所示：當(dāng)拋物線y=x²-5x+4關(guān)于y=m對稱的拋物線與直線BC沒有公共點(diǎn)時，直線y=kx+b與新圖象M恰有兩個公共點(diǎn)．

∵點(diǎn)C關(guān)于y=m對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2m-4），
∴拋物線y=x²-5x+4關(guān)于y=m對稱的拋物線的解析式為y=-x²+5x+2m-4．
∵拋物線y=-x²+5x+2m-4與直線BC沒有公共點(diǎn)，
∴方程-x²+5x+2m-4=-x+4無解，
∴△＜0，即36-4×（8-2m）＜0，解得：m＜-$\frac{1}{2}$．
∵m＞-2，
∴-2＜m＜-$\frac{1}{2}$．
如圖2所示：直線y=kx+b與新圖象M恰有兩個公共點(diǎn)．

由函數(shù)圖象可知2m-4＜4且-4²+5×4+2m-4＞0，
解得：0＜m＜4．
綜上所述，m的取值范圍為-2＜m＜-$\frac{1}{2}$或0＜m＜4．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、求得原拋物線關(guān)于y=m對稱拋物線的解析式，以及直線y=kx+b與新圖象M恰有兩個公共點(diǎn)的條件是解題的關(guān)鍵．