Question

17．如圖，扇形OAB的半徑OA=3，圓心角∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上異于A、B的動點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，作CE⊥OB于點(diǎn)E，連結(jié)DE，點(diǎn)F在線段DE上，且EF=2DF，過點(diǎn)C的直線CG交OA的延長線于點(diǎn)G，且∠CGO=∠CDE．
（1）求證：CG與弧AB所在圓相切．
（2）當(dāng)點(diǎn)C在弧AB上運(yùn)動時(shí)，△CFD的三條邊是否存在長度不變的線段？若存在，求出該線段的長度；若不存在，說明理由．
（3）若∠CGD=60°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的判斷，可得OCDE的形狀，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得∠CDE+∠EDO=90°，∠EDO=∠COD，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠CGO+COD=90°，根據(jù)切線的判定，可得答案；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得CD的長，根據(jù)EF與DF的關(guān)系，可得DF的長；
（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得CD、OD的長，根據(jù)根據(jù)圖形割補(bǔ)法，可得陰影的面積．

解答 （1）證明：如圖：，
∵點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，作CE⊥OB于點(diǎn)E，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
∵∠DOE=90°，
∴ODCE是矩形，
∴∠CDE+∠EDO=90°，∠EDO=∠COD．
∵∠CGO=∠CDE，
∴∠CGO+∠COD=90°，
∴∠OCG=90°，
∵CG經(jīng)過半徑OC的外端，
∴CG是⊙O的切線，即CG與弧AB所在圓相切；
（2）DF不變．
在矩形ODCE中，∵DE=OC=3，EF=2DF，∴DF=$\frac{1}{3}$DE=$\frac{1}{3}$ OC=1，
DF的長不變，DF=1；
（3）∵∠CGD=60°，
∴∠COD=30°，
∴CD=OC•sin∠COD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$，OD=OC•cos∠COD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
圖中陰影部分的面積$\frac{30°}{360°}$×π×3²-$\frac{1}{2}$CD•OD=$\frac{3π}{4}$-$\frac{9\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題，利用了矩形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，切線的判定，利用了矩形的對角線相等，利用面積的和差是求陰影面積的關(guān)鍵．