Question

19．已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是拋物線在第二象限圖象上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+8．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接DE，把點(diǎn)A沿直線DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求G點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）圖2中，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在BC上時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A與B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出a與b的值，從而可求出拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)D作DM⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，容易求出C、D、M的坐標(biāo)，從而可求出AD、DM、DG的長(zhǎng)度，由于點(diǎn)G在拋物線上，可設(shè)G（1，n），由勾股定理可列出方程求出n的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)G恰好落在BC上時(shí)，由對(duì)稱性可知：AD=DG=CD，所以A、C、G三點(diǎn)在以D為圓心，AD為半徑的圓上，連接AG，所以∠AGC=90°，從而可知ED∥BC，求出直線BC的解析式，從而可求出ED的解析式，聯(lián)立直線DE的解析式與拋物線的解析式即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+8經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+8=0}\\{36a+6b+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式是：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8；   

（2）過點(diǎn)D作DM⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，
令x=0代入y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8，
∴y=8，
∴C（0，8），
∴OC=8，
∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DF∥OC
∴DF是△AOC的中位線，
∴FO=2，DF=$\frac{1}{2}$OC=4，
∴D（-2，4），
在Rt△AOC中，
由勾股定理可知：AC=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于直線DE對(duì)稱，
∴DG=AD=2$\sqrt{5}$，
由（1）可知：拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8的對(duì)稱軸為：x=1，
∴M的坐標(biāo)為（1，4），
∴DM=1-（-2）=3，
當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，
設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，n），
∴MG=|4-n|，
在Rt△GDM中，DG²=DM²+MG²，
3²+（4-n）²=20，解得n=4±$\sqrt{11}$，
∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4+$\sqrt{11}$）或（1，4-$\sqrt{11}$）；

（3）當(dāng)點(diǎn)G恰好落在BC上時(shí)，
由對(duì)稱性可知：AD=DG=CD，
∴A、C、G三點(diǎn)在以D為圓心，AD為半徑的圓上，
連接AG，
由于AC是⊙D的直徑，
∴∠AGC=90°，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于ED對(duì)稱，
∴ED⊥AG，
∴ED∥CG，
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+m，
將點(diǎn)C（0.8）、B（6，0）代入y=kx+m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+m=0}\\{m=8}\end{array}\right.$
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{m=8}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+8，
∴可設(shè)直線ED的直線解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+d，
將D（-2，4）代入y=-$\frac{4}{3}$x+d，
∴4=$\frac{8}{3}$+d，
∴d=$\frac{4}{3}$，
∴直線ED的解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}x+8}\end{array}\right.$
解得：x=3±$\sqrt{29}$，
∵E是拋物線在第二象限圖象上一動(dòng)點(diǎn)，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（$3-\sqrt{29}，\frac{{4\sqrt{29}-8}}{3}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及勾股定理、圓周角定理，待定系數(shù)法求解析式，對(duì)稱性，中位線的性質(zhì)與判定等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．