Question

9．如圖，點A，B，C，D是直徑為AB的⊙O上的四個點，C是劣弧$\widehat{BD}$的中點，AC與BD交于點E．
（1）求證：DC²=CE•AC；
（2）若AE=2，EC=1，求證：△AOD是正三角形；
（3）在（2）的條件下，過點C作⊙O的切線，交AB的延長線于點H，求△ACH的面積．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理得出∠DAC=∠CDB，證明△ACD∽△DCE，得出對應邊成比例，即可得出結論；
（2）求出DC=$\sqrt{3}$，連接OC、OD，如圖所示：證出BC=DC=$\sqrt{3}$，由圓周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理得出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，得出OB=OC=OD=DC=BC=$\sqrt{3}$，證出△OCD、△OBC是正三角形，得出∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，求出∠AOD=60°，即可得出結論；
（3）由切線的性質得出OC⊥CH，求出∠H=30°，證出∠H=∠BAC，得出AC=CH=3，求出AH和高，由三角形面積公式即可得出答案．

解答 （1）證明：∵C是劣弧$\widehat{BD}$的中點，
∴∠DAC=∠CDB，
∵∠ACD=∠DCE，
∴△ACD∽△DCE，
∴$\frac{AC}{DC}$=$\frac{CD}{CE}$，
∴DC²=CE•AC；

（2）證明：∵AE=2，EC=1，
∴AC=3，
∴DC²=CE•AC=1×3=3，
∴DC=$\sqrt{3}$，
連接OC、OD，如圖所示：
∵C是劣弧$\widehat{BD}$的中點，
∴OC平分∠DOB，BC=DC=$\sqrt{3}$，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴OB=OC=OD=DC=BC=$\sqrt{3}$，
∴△OCD、△OBC是正三角形，
∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，
∴∠AOD=180°-2×60°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是正三角形；

（3）解：∵CH是⊙O的切線，∴OC⊥CH，
∵∠COH=60°，
∴∠H=30°，
∵∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠H=∠BAC，
∴AC=CH=3，
∵AH=3$\sqrt{3}$，AH上的高為BC•sin60°=$\frac{3}{2}$，
∴△ACH的面積=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題是圓的綜合題目，考查了圓的性質、圓周角定理、相似三角形的判定與性質、正三角形的判定與性質、切線的性質、勾股定理、三角函數(shù)、等腰三角形的判定等知識；本題綜合性強，有一定難度．