Question

4．如圖，已知點A（-1，0），B（7，0），P是線段AB上任意一點（不含端點A，B），過A、P兩點的二次函數(shù)y₁和過P、B兩點的二次函數(shù)y₂的圖象開口均向上，它們的頂點分別為C、D，射線BD與AC相交于點E．當AE=BE=5時，這兩個二次函數(shù)的最小值之和等于（　�。�

• A． -1
• B． -2
• C． -3
• D． -4

Answer 1

分析 作CG⊥AB，EH⊥AB，DM⊥AB，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知AG=PG，PM=BM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知AH=BH=4從而得出AG+BM=PG+PM=$\frac{1}{2}$AB=4，再根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可．

解答 解：如圖，由二次函數(shù)的性質(zhì)，AC=PC，PD=BD，
∵AE=BE=5，
∴∠ABE=∠BAE，
作CG⊥AB，EH⊥AB，DM⊥AB，
∴AH=BH=4，AG=PG，PM=BM，
∴AG+BM=PG+PM=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵AE=BE=5，
∴EH=3，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\frac{BH}{EH}$=$\frac{4}{3}$，
∵CG⊥AB，EH⊥AB，DM⊥AB，
∴CG∥EH∥DM，
∴$\frac{AG}{GC}$=$\frac{BM}{DM}$=$\frac{AH}{EH}$=$\frac{4}{3}$
∴AG=$\frac{4}{3}$CG，BM=$\frac{4}{3}$DM，
∴$\frac{4}{3}$CG+$\frac{4}{3}$DM=4，
∴CG+DM=3，
∴兩個二次函數(shù)的最小值之和等于-3．
故選C．

點評 本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)圖象的對稱性，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等，求得AG+BM=PG+PM=$\frac{1}{2}$AB=4是解題的關(guān)鍵．