Question

5．如圖，點P在⊙O的直徑BA延長線上，PC與⊙O相切，切點為C，點D在⊙O上，連接PD、BD，已知PC=PD=BC．下列結(jié)論：
（1）PD與⊙O相切；
（2）四邊形PCBD是菱形；
（3）PO=AB；
（4）∠PDB=120°．
其中，正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)得出∠PCO=90°，進而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，進而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），進而得出CO=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$AB；
（4）利用四邊形PCBD是菱形，∠CPO=30°，則DP=DB，則∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．

解答 解：（1）連接CO，DO，
∵PC與⊙O相切，切點為C，
∴∠PCO=90°，
在△PCO和△PDO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CO=DO}\\{PO=PO}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴PD與⊙O相切，
故（1）正確；

（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PC=PD}\\{∠CPB=∠DPB}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC=BD，
∴PC=PD=BC=BD，
∴四邊形PCBD是菱形，
故（2）正確；

（3）連接AC，
∵PC=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
在△PCO和△BCA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CPO=∠CBP}\\{PC=BC}\\{∠PCO=∠BCA}\end{array}\right.$，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC=CO，
∴AC=CO=AO，
∴∠COA=60°，
∴∠CPO=30°，
∴CO=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$AB，
∴PO=AB，
故（3）正確；

（4）∵四邊形PCBD是菱形，∠CPO=30°，
∴DP=DB，則∠DPB=∠DBP=30°，
∴∠PDB=120°，
故（4）正確；
正確個數(shù)有4個，
故選A．

點評 此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知識，熟練利用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．