Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN于點E，線段DE交AC于點F．
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）線段DF與AB有怎樣的關系？證明你的結論．

Answer 1

考點：矩形的判定與性質,等腰三角形的性質,平行四邊形的判定與性質

專題：

分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可證得：四邊形ADCE為矩形；
（2）由四邊形ADCE為矩形，可得AF=CF，又由AD是BC邊的中線，即可得DF是△ABC的中位線，則可得DF∥AB，DF=

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AB．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四邊形ADCE為矩形；

（2）DF∥AB，DF=

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2

AB．
理由：∵四邊形ADCE為矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF∥AB，DF=

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2

AB．

點評：此題考查了矩形的判定與性質、三線合一以及三角形中位線的性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．