Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，過點A作AH⊥x軸于點H，點O是線段CH的中點，AC=4$\sqrt{5}$，cos∠ACH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，點B的坐標(biāo)為（4，n）．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△BCH的面積．

Answer 1

分析 （1）首先利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出HC的長，再利用勾股定理得出AH的長，即可得出A點坐標(biāo)，進而求出反比例函數(shù)解析式，再求出B點坐標(biāo)，即可得出一次函數(shù)解析式；
（2）利用B點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)再利用HC的長即可得出△BCH的面積．

解答 解：（1）∵AH⊥x軸于點H，AC=4$\sqrt{5}$，cos∠ACH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{HC}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{HC}{4\sqrt{5}}$，
解得：HC=4，
∵點O是線段CH的中點，
∴HO=CO=2，
∴AH=$\sqrt{A{C}^{2}-H{C}^{2}}$=8，
∴A（-2，8），
∴反比例函數(shù)解析式為：y=-$\frac{16}{x}$，
∴B（4，-4），
∴設(shè)一次函數(shù)解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=8}\\{4k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為：y=-2x+4；

（2）由（1）得：△BCH的面積為：$\frac{1}{2}$×4×4=8．

點評 此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式求法以及三角形面積求法，正確得出A點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．