Question

3．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，A、C分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），直線y=-$\frac{1}{2}$x+3交AB，BC分別于點(diǎn)M，N，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，N．
（1）求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；
（2）求反比例函數(shù)的解析式；
（3）求四邊形BMON的面積S；
（4）若點(diǎn)P在y軸上，且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出OA=BC=2，將y=2代入y=-$\frac{1}{2}$x+3求出x=2，得出M的坐標(biāo)，進(jìn)而將x=4代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得：y=1，求出N點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）把M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出答案；
（3）利用S_{四邊形BMON}=S_矩形OABC-S_△AOM-S_△CON，求出即可；
（4）利用（3）中所求，再求出OP的值，即可求出P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵B（4，2），四邊形OABC是矩形，
∴OA=BC=2，
將y=2代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得：x=2，
∴M（2，2），
將x=4代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得：y=1，
∴N（4，1）；

（2）∵M(jìn)（2，2），
把M的坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$得：k=4，
∴反比例函數(shù)的解析式是y=$\frac{4}{x}$；

（3）由題意可得：S_{四邊形BMON}=S_矩形OABC-S_△AOM-S_△CON
=4×2-$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×4×1
=4；

（4）由（3）得，$\frac{1}{2}$OP×AM=4，
∵AM=2，
∴OP=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，4）或（0，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，注意分類(lèi)討論得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．