Question

3．如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)A在第一象限，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），正方形ADEF頂點(diǎn)F坐標(biāo)為（4，0）．
（1）指出圖中的非等腰直角三角形的全等三角形，并直接寫出∠ABD的度數(shù)；
（2）求直線BE的解析式；
（3）將直線BE向左平移多少個(gè)單位時(shí)經(jīng)過D點(diǎn)？求出此時(shí)直線的解析式．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出∠OAB=∠DAF=90°，OA=AB，AF=AD，∠AOB=∠OBC，證出∠OAF=∠BAD，由SAS即可證明△OAF≌△BAD，得出∠ABD=∠AOB=45°；
（2）設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，直線BE交y軸于M，先求出OM=OB=2，得出M（0，-2），由M和B點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線的解析式；
（3）過D作DN∥BE，交x軸于N，則∠DNB=∠OBC=45°，由（1）得：△OAF≌△BAD，∠ABD=∠ABO=45°，得出BD=OF=4，△BDN是等腰直角三角形，D（2，4），BN=BD=4，即可得出結(jié)論；設(shè)直線DN的解析式為：y=x+c，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出c，得出結(jié)果．

解答 解：（1）△OAF≌△BAD，∠ABD=45°；理由如下：
∵四邊形OABC和四邊形ADEF是正方形，
∴∠OAB=∠ABC=∠DAF=90°，OA=AB，AF=AD，∠AOB=∠OBC=45°，
∴∠OAF=∠BAD，
在△OAF和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AB}&{\;}\\{∠OAF=∠BAD}&{\;}\\{AF=AD}&{\;}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAF≌△BAD（SAS），
∴∠ABD=∠AOB=∠ABO=45°；
（2）設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，直線BE交y軸于M，如圖所示：
由（1）得：∠OBC=45°，
∴∠OMB=45°，
∴OM=OB，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴OM=OB=2，
∴M（0，-2），
把M（0，-2），B（2，0）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=-2，
∴直線BE的解析式為：y=x-2；
（3）將直線BE向左平移4個(gè)單位時(shí)經(jīng)過D點(diǎn)；理由如下：
過D作DN∥BE，交x軸于N，如圖所示：
則∠DNB=∠OBC=45°，
由（1）得：△OAF≌△BAD，∠ABD=∠ABO=45°，
∴BD=OF=4，∠OBD=90°，
∴△BDN是等腰直角三角形，D（2，4），
∴BN=BD=4，
∴將直線BE向左平移4個(gè)單位時(shí)經(jīng)過D點(diǎn)；
設(shè)直線DN的解析式為：y=x+c，
把D（2，4）代入得：c=2，
∴直線DN的解析式為：y=x+2．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是需要通過證明三角形全等得出點(diǎn)的坐標(biāo)才能求出直線的解析式．