Question

15．已知關(guān)于x的方程kx²-x-$\frac{2}{k}$=0（k≠0）．
（1）求證：方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求整數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）先判斷方程為關(guān)于x的一元二次方程，再計(jì)算出△=9，于是根據(jù)判別式的意義可判斷方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）利用求根公式解方程得到x₁=$\frac{2}{k}$，x₂=-$\frac{1}{k}$，然后利用整數(shù)的整除性確定k的值．

解答 （1）證明：∵k≠0，
∴kx²-x-$\frac{2}{k}$=0（k≠0）為關(guān)于x的一元二次方程，
∵△=（-1）²-4k×（-$\frac{2}{k}$）=9＞0，
∴方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：x=$\frac{1±\sqrt{9}}{2k}$=$\frac{1±3}{2k}$，解得x₁=$\frac{2}{k}$，x₂=-$\frac{1}{k}$，
∵方程的兩個實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且k是整數(shù)，
∴k=-1或k=1．

點(diǎn)評 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．