Question

4．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B，C重合），過M作NM∥y軸交拋物線于N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用含m的代數(shù)式表示MN的長；
（3）在（2）的條件下，連接NB，NC，是否存在點(diǎn)M，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知了拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，N、M縱坐標(biāo)的差的絕對值即為MN的長．
（3）設(shè)MN交x軸于D，那么△BNC的面積可表示為：S_△BNC=S_△MNC+S_△MNB=$\frac{1}{2}$MN（OD+DB）=$\frac{1}{2}$MN•OB，MN的表達(dá)式在（2）中已求得，OB的長易知，由此列出關(guān)于S_△BNC、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出△BNC是否具有最大值．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），則：
a（0+1）（0-3）=3，a=-1；
∴拋物線的解析式：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$；
故直線BC的解析式：y=-x+3．
已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，MN∥y，則M（m，-m+3）、N（m，-m²+2m+3）；
∴故MN=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m（0＜m＜3）．

（3）如圖；
∵S_△BNC=S_△MNC+S_△MNB=$\frac{1}{2}$MN（OD+DB）=$\frac{1}{2}$MN•OB，
∴S_△BNC=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）•3=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$（0＜m＜3）；
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，△BNC的面積最大，最大值為 $\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評 該二次函數(shù)題較為簡單，考查的知識點(diǎn)有：函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及圖形面積的解法．（3）的解法較多，也可通過圖形的面積差等方法來列函數(shù)關(guān)系式，可根據(jù)自己的習(xí)慣來選擇熟練的解法．